一頻譜泄露產生原因

　　在現代信號處理中，由于信號的頻域分析比時域分析具有更加清晰的物理概念和深刻含義，因而在信息技術領域中，FFT運算和頻譜分析是一種常用的分析手段。對信號進行頻譜分析首先需要通過信號的傅里葉變換計算出信號對應的頻譜函數，但是由于實際應用中接觸到的大量非周期連續信號x(t)的頻譜函數X(jω)是連續函數，利用計算機對其進行頻譜分析時往往需要對信號進行離散化處理以近似分析相應的頻譜。在離散化處理過程中，由于被處理信號的有限記錄長度和時域、頻域的離散性往往造成在頻譜分析中會出現一些特殊的效應，例如混疊現象、泄露現象以及柵欄現象，頻譜泄露就是這樣出現的。

二頻譜泄露的分析方法

　　所謂頻譜泄露，就是信號頻譜中各譜線之間相互影響，使測量結果偏離實際值，同時在譜線兩側其他頻率點上出現一些幅值較小的假譜，導致頻譜泄露的原因是采樣頻率和信號頻率的不同步，造成周期采樣信號的相位在始端和終端不連續。

　　設X(t)為實際信號，T0為信號周期，f0=1/T0為信號頻率，Ts為采樣周期，fs=1/Ts為采樣頻率，L是截取的周期數，N是采樣點數，L、N均為正整數，X(t)經過長度為LT0的時間窗后得到離散序列X(n)，必須滿足采樣頻率和信號頻率同步，即同步采樣的要求： LT0/Ts=Nfs/f0。

　　當信號X(t)的頻率f0是fs/N的整數倍時，這說明在處理長度NT內有信號的K個整周期。這時由X(t)構成的以NT為周期的周期性信號是連續的。當信號X(t)的頻率f0不是fs/N的整數倍時，則在NT的處理長度內，就不是恰好為信號周期的整數倍，有X(t)以NT為周期進行周期延拓所得到的周期性信號就出現了不連續點，造成了頻譜分量從其正常頻譜擴展開來，就這樣形成了頻譜泄露現象。

　　在對信號做FFT分析時，如果采樣頻率固定不變，由于被采樣信號自身頻率的微小變化以及干擾因素的影響，就會使數據窗記錄的不是整數個周期。從時域來說，這種情況在信號的周期延拓時就會導致其邊界點不連續，使信號附加了高頻分量;從頻域來說，由于FFT算法只是對有限長度的信號進行變換，有限長度信號在時域相當于無限長信號和矩形窗的乘積，也就是將這個無限長信號截短，對應頻域的傅里葉變換是實際信號傅里葉變換與矩形窗傅里葉變換的卷積。

　　當信號被截短后的頻譜不同于它以前的頻譜。例如，對于頻率為fs的正弦序列，它的頻譜應該只是在fs處有離散譜。但是，在對它的頻譜做了截短后，結果使信號的頻譜不只是在fs處有離散譜，而是在以fs為中心的頻帶范圍內都有譜線出現，它們可以理解為是從fs頻率上泄露出去的，這種現象就是頻譜泄露。泄露現象對功率譜估計及正弦分量的檢測均帶來有害的影響，因為弱信號的主瓣很容易被強信號泄露到鄰近的副瓣所淹沒及畸變，從而造成譜的模糊與失真。 通過LABVIEW信號處理實驗室可以看到當邊界點不連續時出現的頻譜泄露的情況如下圖1所示：

圖1 信號邊界點不連續時

　　接下來舉例說明以上的情況。假設連續信號X(t)的周期為T，現在對它進行采樣，采樣時間為t，采樣N個點，那么T=N*t,因為f(t)的頻率f0=2*pi/T,同時又有T=N*t、fs=2*pi/t,則有f0=2*pi/N*t=fs/N。接著我們假設對一個周期采樣N=32個點，則有f0=fs/N;當對一個周期采樣N1=64個點，那么N1=2*N，有f0=fs/N=fs/N1/2,即f0=2*fs/N1；同理當N2=128，f0=4*fs/N2…

　　也就是說如果采樣的不是整數倍的信號周期，那么這32個點、64個點、128個點....就不是在一個整周期內采到的，那么上面的等式也就不成立了，因此也就發生了頻譜泄露。如果原始信號的頻譜成份與FFT中的譜線完全一致，這種情況下采樣數據的長度為信號周期的整數倍，頻譜中只有主瓣，沒有出現旁瓣的原因是旁瓣正處在窗函數主瓣兩側采樣頻率間隔處的零分量點。如果時間序列的長度不是周期的整數倍，窗函數的連續頻譜將偏離主瓣的中心，頻率偏移量對應著信號頻率和FFT頻率分辨率的差異，這個偏移導致了頻譜中出現旁瓣，所以窗函數的旁瓣特性直接影響著各頻譜分量向相鄰頻譜的泄露寬度。下圖2是信號邊界連續時的頻譜圖，可以看到此時頻譜未發生泄露。

圖2 信號邊界點連續時

　　因此，綜上所述，當采樣同步時，窗口寬度等于整數個信號周期，矩形框的過零點與離散頻點正好對齊，沒有泄露。采樣不同步時，窗口寬度不是整數個信號周期，諧波頻譜分布不再是一條譜線而是在整個頻域內分布，頻譜之間相互干擾，出現頻譜泄露。

　　由以上分析可以看出，采樣不同步是造成頻譜泄露的根本原因，減少采樣的同步誤差是抑制頻譜泄露的根本措施。

三消除頻譜泄露的處理方法

01選擇合適的窗函數

　　為減少頻譜能量泄露，可采用不同的截取函數對信號進行截斷，截斷函數稱為窗函數。泄露與窗函數頻譜的兩側旁瓣有關，如果兩側旁瓣的高度趨于零，而使能量相對集中在主瓣，就可以較為接近于真實的頻譜，為此，在時間域中可采用不同的窗函數來截斷信號，應用在諧波測量中的窗函數很多，不同的窗函數對諧波測量的影響各不相同，即使同一個窗函數，參數選擇不一樣，影響也不一樣，以下是6種常用的窗函數及特性：

　　                                  矩形窗                                                                    漢寧窗(Hanning)

                                     漢明窗(Hamming)                                                       布萊克曼窗(Blackman)

　　                            Bartlett窗(三角窗)                                                        凱澤窗(Kaiser)

　　選擇合適的窗函數對于減少頻譜能量泄露非常有效，以下是窗函數的選擇建議：

　　如果在測試中可以保證不會有泄露的發生，則不需要用任何的窗函數；

　　如果測試信號有多個頻率分量，頻譜表現的十分復雜，且測試的目的更多關注頻率點而非能量的大小。在這種情況下，需要選擇一個主瓣夠窄的窗函數，漢寧窗是一個很好的選擇；

　　如果測試的目的更多的關注某周期信號頻率點的能量值，那么其幅度的準確性則更加的重要，可以選擇一個主瓣稍寬的窗；

　　如果檢測兩個頻率相近幅度不同的信號，用布萊克曼窗；

　　如想要靈活的通過窗函數的形狀來控制頻譜波紋或阻帶衰減指標，則選擇凱澤窗；

　　如果被測信號是隨機或者未知的，選擇漢寧窗。

02加長傅里葉時間窗長度

　　傅里葉時間窗長度就是參與傅里葉變換的數據點數，參與變換的數據點數越多，頻譜泄露越小。對于快速傅里葉變換FFT，要求數據點數必須為2的N次冪，而對于普通離散傅里葉變換DFT則無此限制。

　　以下是不同采樣次數和窗寬對應的頻譜泄露，從對比圖上可以看出，當采樣次數N和窗寬L同時增大時，頻譜泄漏減小。

不同采樣次數和窗寬對應的頻譜泄露

03利用頻率同步裝置減少頻譜泄露

　　利用硬件裝置實現頻率同步的裝置很多，其中下圖3所示的是利用數字式鎖相器(DPLL)實現頻率同步的框圖。圖中帶通濾波器用來濾除噪聲干擾，數字式相位比較器把取自系統電壓信號的相位和頻率與鎖相環輸出的同步反饋信號進行相位比較。當失步時，數字式相位比較器輸出與兩者相位差和頻率差有關的電壓，經濾波后控制并改變壓控振蕩器的頻率，直到輸入的頻率和反饋信號的頻率同步為止。一旦鎖定，便將跟蹤輸入信號頻率變化，保持兩者的頻率同步，輸出的同步信號去控制對信號的采樣和加窗函數。

圖3 頻率同步數字鎖相裝置框圖

　　此種采用鎖相環技術實現硬件同步采樣的方法盡管可以在一定程度上減小頻譜泄露，但其加大了硬件復雜度。

04利用采樣頻率自適應軟件算法來減少頻譜泄露

　　對于實際的電力信號，其頻率的變化一般是比較緩慢的，相鄰的幾個周波的頻率變化很小，在對其進行頻譜分析時，針對電力信號這個特點，采用軟件采樣頻率自適應算法。首先以基波頻率50HZ為采樣基點，然后通過軟件算法得到信號的實際頻率，用實際頻率自動的調整采樣時間，可以減小同步誤差，提高精度。

　　對于實際電力信號，軟件采樣頻率自適應算法如下：

　　(1)設定采樣間隔為Ts=78.125us(采樣頻率fs=12.8kHz)，采樣2×512+256點；

　　(2)根據采樣序列和采樣間隔，利用改進的過零修正法計算信號的實際頻率f0；

　　(3)由實際頻率f0調整新的采樣時間間隔，可使新的采樣時間窗是T0=1/f0的整數倍，并采樣2×512+256點；

　　(4)利用過采樣法進行FFT運算得到64點(N=512而只計算64點)結果，輸出基波以及各次諧波數據；

　　(5)將2×512+256點采樣序列和新的采樣間隔作為參數，返回第(2)步。

　　本算法主要有以下特點：

　　(1)在第2步中采用數字濾波過零修正法。僅僅采用一般的過零線性化來計算采樣頻率所得到f0的誤差還是較大的，由于干擾或者某些因素影響，有時甚至會出現錯誤。為了解決這個問題，對采樣序列進行數字濾波，一般來說基頻信號最強，受其他諧波泄露的影響也最小，通過數字濾波器除基頻以上的頻率成分，保證基波附近頻率通過，并采用16位A/D轉換芯片，可明顯降低頻率計算誤差。

　　(2)在第3步中通過軟件實現對采樣時間間隔(采樣頻率)的調整，在實際應用中，采用DSP芯片對采樣時間的確定可以精確到0.01us，有很好的精度保證。

　　(3)第4步中利用過采樣法進行FFT運算，可以減小混疊誤差，或降低對抗混疊濾波器的要求。如果進行FFT運算的序列不是充分的，其fs/2以上的頻率成分就會折疊到0~fc段內。對于電力信號，要求分析的最高為64次的諧波，fc=3.2kHz，則fs~fc，2fs~3fc，3fs~5fc，4fs~7fc段頻譜會折疊到0~fc段內引起折疊誤差。并且在fs/2附近折疊誤差最大；但當fc一定時，提高fs會減小誤差，因此，在進行信號分析時，可用過采樣方法減小混疊誤差。

四結語

　　綜上所述，采樣不同步產生的同步誤差是造成頻譜泄露的重要原因，上述的基于采樣頻率自適應技術的軟件算法通過采樣數據計算得到信號較為準確的實際頻率，并根據實際頻率動態調整采樣的時間間隔，實現采樣頻率的自適應，從而減小同步誤差，降低頻譜泄露的影響。WP4000變頻功率分析儀通過頻率測量和同步電路，保證了信號的整周期截斷，傅里葉時間窗包含一個或整數個信號周期，有效的避免了頻譜泄露。

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